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Qué es el álgebra booleana en informática
El álgebra de Boole es una división de las matemáticas que se ocupa de las operaciones con valores lógicos e incorpora variables binarias. El álgebra de Boole tiene su origen en un libro de 1854 del matemático George Boole.
El factor distintivo del álgebra de Boole es que sólo se ocupa del estudio de las variables binarias. Lo más habitual es que las variables booleanas se presenten con los posibles valores de 1 (“verdadero”) o 0 (“falso”). Las variables también pueden tener interpretaciones más complejas, como en la teoría de conjuntos. El álgebra booleana también se conoce como álgebra binaria.
El álgebra booleana es diferente del álgebra elemental, ya que esta última se ocupa de las operaciones numéricas y la primera de las operaciones lógicas. El álgebra elemental se expresa mediante funciones matemáticas básicas, como la suma, la resta, la multiplicación y la división, mientras que el álgebra booleana se ocupa de la conjunción, la disyunción y la negación.
El concepto de álgebra booleana fue introducido por primera vez por George Boole en su libro El análisis matemático de la lógica, y ampliado en su libro Una investigación de las leyes del pensamiento. Desde que se detalló su concepto, el principal uso del álgebra de Boole ha sido en los lenguajes de programación de ordenadores. Sus fines matemáticos se utilizan en la teoría de conjuntos y en la estadística.
Reglas del álgebra de Boole
Hoy se cumplen 200 años del nacimiento de George Boole. En nuestro mundo digital moderno, siempre oímos hablar de “variables booleanas” -1 o 0, verdadero o falso. Y uno podría pensar: “¡Qué idea tan trivial! ¿Por qué alguien tuvo que inventarla explícitamente?”. Pero, como ocurre a menudo, hay una historia más profunda, ya que las variables booleanas fueron en realidad un efecto secundario de un importante avance intelectual que hizo George Boole.
Cuando George Boole entró en escena, las disciplinas de la lógica y las matemáticas se habían desarrollado por separado durante más de 2000 años. Y el gran logro de George Boole fue mostrar cómo unirlas, a través del concepto de lo que ahora se llama álgebra de Boole. Con ello creó el campo de la lógica matemática y preparó el terreno para la larga serie de desarrollos que condujeron, por ejemplo, a la computación universal.
Cuando George Boole inventó el álgebra de Boole, su objetivo básico era encontrar un conjunto de axiomas matemáticos que pudieran reproducir los resultados clásicos de la lógica. Su punto de partida era el álgebra ordinaria, con variables como x e y, y operaciones como la suma y la multiplicación.
Álgebra de Boole
Un álgebra de Boole o celosía de Boole es una estructura algebraica que modela el cálculo proposicional clásico, aproximadamente el fragmento del cálculo lógico que se ocupa de las conectivas lógicas básicas “y”, “o”, “implica” y “no”.
Podemos recuperar la estructura del poste: a≤ba \leq b si a∧b=aa \wedge b = a. Hay cierta redundancia o exceso en esta lista de axiomas; por ejemplo, basta con dar sólo los axiomas 1, 2, 5, 6, 9, 10, 11, 12.
La teoría de las álgebras booleanas es equivalente a la teoría de los anillos booleanos en el sentido de que sus categorías de modelos son equivalentes. Dado un anillo booleano, definimos la operación ∧\wedge como multiplicación, y la operación ∨\vee por x∨y=x+y+xyx \vee y = x + y + x y, y la operación ¬\neg por ¬x=1+x\neg x = 1 + x. La relación x≤yx \leq y puede definirse por la condición xy=xx y = x. En el otro sentido, dada un álgebra booleana, podemos definir la suma por diferencia simétrica: x+y=(x∨y)∧¬(x∧y)x + y = (x \vee y) \neg(x \wedge y). Según esta equivalencia, el anillo booleano libre sobre nn generadores puede identificarse con el álgebra booleana P(2 n)P(2^n), el conjunto de potencias sobre un conjunto con 2 n2^n elementos.
George boole
Hoy se cumplen 200 años del nacimiento de George Boole. En nuestro mundo digital moderno, siempre oímos hablar de “variables booleanas” -1 o 0, verdadero o falso. Y uno podría pensar: “¡Qué idea tan trivial! ¿Por qué alguien tuvo que inventarla explícitamente?”. Pero, como ocurre a menudo, hay una historia más profunda, ya que las variables booleanas fueron en realidad un efecto secundario de un importante avance intelectual que hizo George Boole.
Cuando George Boole apareció en escena, las disciplinas de la lógica y las matemáticas se habían desarrollado por separado durante más de 2000 años. Y el gran logro de George Boole fue mostrar cómo unirlas, a través del concepto de lo que ahora se llama álgebra de Boole. Con ello creó el campo de la lógica matemática y preparó el terreno para la larga serie de desarrollos que condujeron, por ejemplo, a la computación universal.
Cuando George Boole inventó el álgebra de Boole, su objetivo básico era encontrar un conjunto de axiomas matemáticos que pudieran reproducir los resultados clásicos de la lógica. Su punto de partida era el álgebra ordinaria, con variables como x e y, y operaciones como la suma y la multiplicación.